martes, 15 de enero de 2019
miércoles, 9 de enero de 2019
segmentos conmensurables: algoritmo de euclides
Es un método antiguo y eficaz de calcular
el máximo común divisor
el máximo común divisor
lunes, 10 de diciembre de 2018
Reglas de divisibilidad del 2, 4, 6, 8, 3, 25, 7,13, 17, 19
2= Cuando su última cifra es par.
4= Cuando las dos últimas cifras son divisibles por 4.
8= Cuando la tres últimas cifras son divisores de 8 y se pueden dividir tres veces por 2.
3= Cuando la suma de su cifras es múltiplo de 3.
6= Cuando acaba en par y la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo de 3.
11= Ejemplo: 528 5 +8 = 13 13-2=11 se suman el 5 y el 8 y se resta 2 al resultado y da 11.
25= Si termina en 25 , 50 , 75 , 00 , es múltiplo de 25
7= Se multiplica su última cifra por 5 y luego el resultado que de , se le suma las dos primeras cifras .
Ejemplo = 119 9x5=45 45 +11=56 que es múltiplo de 7.
13= Cuando separando la primera cifra de la derecha , multiplicándola por 9 restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente da 0 o múltiplo de 13.8= Cuando la tres últimas cifras son divisores de 8 y se pueden dividir tres veces por 2.
3= Cuando la suma de su cifras es múltiplo de 3.
6= Cuando acaba en par y la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo de 3.
11= Ejemplo: 528 5 +8 = 13 13-2=11 se suman el 5 y el 8 y se resta 2 al resultado y da 11.
25= Si termina en 25 , 50 , 75 , 00 , es múltiplo de 25
7= Se multiplica su última cifra por 5 y luego el resultado que de , se le suma las dos primeras cifras .
Ejemplo = 119 9x5=45 45 +11=56 que es múltiplo de 7.
17= cuando separando la primera cifra de la derecha , multiplicándola por 5 , restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente da 0 o múltiplo de 17.
19= Cuando separando la primera cifra de la derecha , multiplicándola por 2 , sumando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente da 19.
23= Cuando le quitamos o retiramos su última cifra , la suma del número resultante y 7 veces esa última cifra es 0 o múltiplo de 23.
¿cómo averiguar la letra del DNI?
Para obtener la letra del DNI solo hay que dividir el número entre 23 y el número resultante del resto de esta división hay
que buscarlo en la siguiente lista que nos indicará que letra le corresponde:
0 T 5 M 10 X 15 S 20 C
1 R 6 Y 11 B 16 Q 21 K
2 W 7 F 12 N 17 V 22 E
3 A 8 P 13 J 18 H
4 G 9 D 14 Z 19 L
Por ejemplo al número de DNI 12345678 al dividirlo entre 23 el resultado es 536768 y resto 14. En la lista se puede comprobar
que al número 14 le corresponde la letra Z. Por lo que este DNI con letra incluida sería 12345678Z.
ERRORES DEL GION
-Cuando Lorena habla de los criterios de divisibilidad dice que
Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19.
-y cuando dice
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
*corrección con un ejemplo:
528: se suman el 5 y el 8 y se resta con el 2 que es el del medio y nos da 11
- En el minuto 6:41 Lorena dice que los divisores encontrados hasta ahora son 1, 2, 4, 28 y 56, sin embargo, no menciona el 112, que también lo es como ha demostrado Femili anteriormente.
-
- En el minuto 6:41 Lorena dice que los divisores encontrados hasta ahora son 1, 2, 4, 28 y 56, sin embargo, no menciona el 112, que también lo es como ha demostrado Femili anteriormente.
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¿Qué son las congruecias en Z+módulo M?
Definición de congruencia
Dado m ∈ Z , m> 1, se dice que a, b ∈ Z son congruentes módulo m
si y sólo si m|(a-b). Se denota esta relación como a ≡ b (mod m). m es el módulo de la congruencia.
Es importante darse cuenta de que si m divide a a-b, esto supone que
ambos a y b tienen el mismo resto al ser divididos por el módulo m.
Ejemplos: 23≡2 mod 7 (porque 23=3.7 + 2), y -6≡1 mod 7 (porque -6= -7.1 +1)
La relación de congruencia como equivalencia. El conjunto de residuos.
La relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia para todo m ∈ Z.
Es decir, cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Como en toda relación de equivalencia, podemos definir el
conjunto cociente de las clases de equivalencia originadas por la relación de congruencia. En este caso la relación clasifica a cualquier entero a según el resto obtenido al dividirlo por el módulo m.
Llamaremos Zm al conjunto cociente de Z respecto de la relación de congruencia
módulo m. A la clase de equivalencia de un elemento a ∈ Z se la denota por [a]m o simplemente [a].
Para todo a∈Z se tiene que [a] = [r] en Zm, donde r es el resto de dividir a entre
m.Por lo tanto, el conjunto Zm es finito y tiene m elementos: Zm = { [0]m, [1]m, ... , [m-1]m}, donde la clase
[i]m representa al conjunto de todos los enteros que son congruentes con i mod m. A este conjunto cociente se le conoce como el conjunto de restos o residuos (módulo m)
Ejemplo: siguiendo con el ejemplo anterior, está claro que en Z7, el número entero 9, el 16 y el 23 pertenecen todos a la clase [2], y que el
entero -6, el 1 y el 8 pertenecen a la clase [1]
Compatibilidad de la relación de congruencia con la suma y el producto
Sean m ∈ N y a, b, c, d ∈ Z tales que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m).
Entonces se cumple que:
- a + c ≡ b + d (mod m)
- a . c ≡ b . d (mod m)
Consecuentemente, el resto de la suma es congruente con la suma de restos, y el resto del producto es congruente con el producto de
restos. Además podremos sumar y multiplicar clases de equivalencia (residuos) porque es indiferente el representante que se elija de
cada clase a la hora de operar: el resultante de la operación siempre será un representante de la misma clase resultado.
Vamos ahora a definir la aritmética módulo m o aritmética en Zm:
domingo, 11 de noviembre de 2018
GUION DE LA RADIO
Presentadora: Mereva
Concursantes: Emonna , Lorena , Femili y Pablo
Las técnicas: Ainoa , Nuria
MEREVA: bienvenidos al concurso matemático de jóvenes estudiantes , hoy este programa se transmitirá a través de la radio, ONDA PINAR de I.E.S PINAR DE LA RUBIA que concursarán los alumnos de 4 de ESO de matemáticas aplicadas y académicas y por supuesto también lo transmitiremos a través de la cadena de Castilla y León a las 21:00 .
Antes de empezar nombraremos a nuestros cuarto concursantes que irán sentándose según se les nombre y estos son :
Lorena , Emonna , Femili y …. Pablo
Bueno chicos ¿ bien? mm y yo que me alegro
Os explico como va un poco esto , tenemos 2 grupos por una parte el grupo 1 formado por Lorena y Femili y el grupo dos formado por Pablo y Emonna , cada uno de ellos tendrá un botón rojo delante ,que pulsaran para poder responder a la pregunta , quien le de antes tendrá la palabra , si acierta se les dará 1 punto a su equipo y si es incorrecta el tiempo de respuesta pasara entonces al equipo contario, dicho esto comenzemos:
El tema de las preguntas trataran sobre divisibilidad
Primera pregunta:
¿Qué es un múltiplo de un número? dime un ejemplo.
El tiempo empieza ….
¡ya!
(SONIDO DEL PULSADOR ROJO PARA PODER RESPONDER)
¡Pablo!
Pablo: es el resultado de multiplicar ese número por otro cualquiera
ejemplos: 3·1= 3 osea que 3 es múltiplo de 3
3·2=6 pues 6 es múltiplo de 3
3·3=9 y 9 es múltilo de 3
MEREVA: correcto , un punto para el equipo dos ,sigamos
la pregunta que viene ahora es bastante largo de contestar asI que mas vale que acertéis, la pregunta es ..: ¿como podemos hallar los divisores de 112 ?, el tempo empieza... ¡ya!
(SONIDO DEL PULSADOR ROJO PARA PODER RESPONDER)
¡femili!
FEMILI:
Por defecto, 1 y 112 dividen a 112, y por tanto son divisores de 112. Después de esto, probamos los números enteros en orden: 2, 3, 4, 5, 6, etc. si son divisores de 112 o no. Primero se nota que 112 es divisible por 2 ya que su última cifra es 2. (También es divisible por 4 ya que las dos últimas cifras conforman un numero, el 12, que es divisible por 4.)Entonces dividimos por 2 para hallar otro divisor: 112 ÷ 2 = 56. Este número también divide a 112: 112 ÷ 56 = 2. Entonces tenemos dos divisores más: 2 y 56.
Todos los otros divisores estáran entre 2 y 56.
Vamos a ver si el 3 es o no un divisor del 112. Sumando sus cifras obtenemos: 1 + 1 + 2 = 4. Como 4 no es divisible por 3, 112 tampoco lo será.
Ya dijimos que el 4 es un divisor del 112. por supuesto al realizar la división obtenemos: 112 ÷ 4 = 28; entonces 28 también es un divisor de 112.
MEREVA: ya que es tan larga la respuesta , deja que te ayude tu compañera Lorena LORENA:
Hasta ahora encontramos los siguientes divisores 1, 2, 4, 28, y 56. Si hay otros, serán entre 4 y 28.
5 no sirve ya que 112 termina en 2.
6 no sirve ya que 112 no resultó divisible por 3.
7 si es un divisor: 112 ÷ 7 = 16. Entonces 7 y 16 son divisores.
8 si es un divisor: 112 ÷ 8 = 14. Entonces 8 y 14 son divisores - Los demás posibles divisores estarán entre 8 y 14.
9 no puede ser un divisor ya que 3 no fue un divisor.
10 no es un divisor ya que 112 no termina en cero.
11 no sirve. (2 - 1 + 2 = 2 y 2 no divide a 11). Y, si tratamos de dividir 112 por 11, la respuesta es un poco más de 10. Ya hemos probado 10. Entonces no necesitamos probar más números.
Concursantes: Emonna , Lorena , Femili y Pablo
Las técnicas: Ainoa , Nuria
MEREVA: bienvenidos al concurso matemático de jóvenes estudiantes , hoy este programa se transmitirá a través de la radio, ONDA PINAR de I.E.S PINAR DE LA RUBIA que concursarán los alumnos de 4 de ESO de matemáticas aplicadas y académicas y por supuesto también lo transmitiremos a través de la cadena de Castilla y León a las 21:00 .
Antes de empezar nombraremos a nuestros cuarto concursantes que irán sentándose según se les nombre y estos son :
Lorena , Emonna , Femili y …. Pablo
Bueno chicos ¿ bien? mm y yo que me alegro
Os explico como va un poco esto , tenemos 2 grupos por una parte el grupo 1 formado por Lorena y Femili y el grupo dos formado por Pablo y Emonna , cada uno de ellos tendrá un botón rojo delante ,que pulsaran para poder responder a la pregunta , quien le de antes tendrá la palabra , si acierta se les dará 1 punto a su equipo y si es incorrecta el tiempo de respuesta pasara entonces al equipo contario, dicho esto comenzemos:
El tema de las preguntas trataran sobre divisibilidad
Primera pregunta:
¿Qué es un múltiplo de un número? dime un ejemplo.
El tiempo empieza ….
¡ya!
(SONIDO DEL PULSADOR ROJO PARA PODER RESPONDER)
¡Pablo!
Pablo: es el resultado de multiplicar ese número por otro cualquiera
ejemplos: 3·1= 3 osea que 3 es múltiplo de 3
3·2=6 pues 6 es múltiplo de 3
3·3=9 y 9 es múltilo de 3
MEREVA: correcto , un punto para el equipo dos ,sigamos
la pregunta que viene ahora es bastante largo de contestar asI que mas vale que acertéis, la pregunta es ..: ¿como podemos hallar los divisores de 112 ?, el tempo empieza... ¡ya!
(SONIDO DEL PULSADOR ROJO PARA PODER RESPONDER)
¡femili!
FEMILI:
Por defecto, 1 y 112 dividen a 112, y por tanto son divisores de 112. Después de esto, probamos los números enteros en orden: 2, 3, 4, 5, 6, etc. si son divisores de 112 o no. Primero se nota que 112 es divisible por 2 ya que su última cifra es 2. (También es divisible por 4 ya que las dos últimas cifras conforman un numero, el 12, que es divisible por 4.)Entonces dividimos por 2 para hallar otro divisor: 112 ÷ 2 = 56. Este número también divide a 112: 112 ÷ 56 = 2. Entonces tenemos dos divisores más: 2 y 56.
Todos los otros divisores estáran entre 2 y 56.
Vamos a ver si el 3 es o no un divisor del 112. Sumando sus cifras obtenemos: 1 + 1 + 2 = 4. Como 4 no es divisible por 3, 112 tampoco lo será.
Ya dijimos que el 4 es un divisor del 112. por supuesto al realizar la división obtenemos: 112 ÷ 4 = 28; entonces 28 también es un divisor de 112.
MEREVA: ya que es tan larga la respuesta , deja que te ayude tu compañera Lorena LORENA:
Hasta ahora encontramos los siguientes divisores 1, 2, 4, 28, y 56. Si hay otros, serán entre 4 y 28.
5 no sirve ya que 112 termina en 2.
6 no sirve ya que 112 no resultó divisible por 3.
7 si es un divisor: 112 ÷ 7 = 16. Entonces 7 y 16 son divisores.
8 si es un divisor: 112 ÷ 8 = 14. Entonces 8 y 14 son divisores - Los demás posibles divisores estarán entre 8 y 14.
9 no puede ser un divisor ya que 3 no fue un divisor.
10 no es un divisor ya que 112 no termina en cero.
11 no sirve. (2 - 1 + 2 = 2 y 2 no divide a 11). Y, si tratamos de dividir 112 por 11, la respuesta es un poco más de 10. Ya hemos probado 10. Entonces no necesitamos probar más números.
Entonces los divisores del 112 son: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, y 112.
MEREVA: correcto, muy bien un punto para el equipo 1, seguimos, vamos a por la tercera pregunta: ¿qué son los números primos? ponerme 2 ejemplos
(SONIDO DEL PULSADOR ROJO PARA PODER RESPONDER)
¡Emonna!
EMONNA: es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente divisores distintos que son: él mismo y el 1 , algunos ejemplos de números primos pues son , 2, 3 , 5,7,11,13,17,19,23...
MEREVA: correcto
Bueno ya son 2 puntos para Pablo y Emonna y 1 punto para Femili y Lorena. Vamos haber si podrán seguir acertando, demomento parece que tiene buena racha, lo veremos después de un pequeño descanso , mientras os dejó con una canción muy conocida actualmente entre los jóvenes y es lo malo de Aitana y ana guerra finalistas de operación triunfo....
(música entrando de Aitana y Ana guerra: lo malo …)
Bueno, después de este pequeño descanso, sigamos, la siguiente pregunta es, "Goldbach dijó que todo número par mayor que 2 puede ecribirse como suma de dos números primos o que todo número impar mayor que 5 puede escribirse como suma de tres números primos o que todo número impar mayor que 7 puede escribirse como tres números primos impares así que , decirme todo lo que sepáis sobre esta conjetura ...
(sonido del pulsador rojo para que puedan responder)
¡Pablo!
PABLO: Goldbach escribió una carta a Leonard Euler , diciendo su conjetura, con el tiempo , otros matemáticos mostraron que la conjetura de Goldbach débil es cierta para todos los números impares suficientemente grandes pueden escribirse como suma de tres números primos , en resumen , muchos matemáticos intentaron demostrar que esta conjetura era cierta , de hecho lo que pasa es que los números son infinitos y ese es el problema por eso mismo no puede demostrarse
MEREVA: ¡ vaya correcto ! madre mia ya vais ganando 3 -1 a vuestros rivales
veamos haber si sabéis contestara la siguiente pregunta: ¿cuáles son los criterios de divisibilidad?
(sonido del pulsador rojo para que puedan responder)
¡Lorena!
LORENA:
Vamos haber si sabéis contestar a esta pregunta: ¿como podemos hallar la letra del DNI?
(ruido del pulsador rojo para poder responder) ¡Emonna¡cuentanos
EMONNA:la letra del DNI está relacionada con el resto de la división entera por cualquier número. Y los grafos de divisibilidad no solo nos dicen si un número es divisible por otro número sino también nos da el resto de la división entera.
MEREVA: ¡very good! ¿ Pero Puedes explicar como se hace un grafo de divisibilidad?
EMONNA:creo que si, pues haber, te lo voy a explicar con el 23. Los restos de la división entera por 23, son los números enteros desde el cero hasta el 22. Dibujamos 23 vértices numerados sucesivamente del 0 al 22 y una flecha negra que va de un número al siguiente. Ahora nos falta dibujar las flechas rojas, sale una de cada vértice, pero ¿hacia que vertirce? El número del vértice lo multiplicamos por 10 y el resultado lo dividimos entre 23, la flecha apuntará al vertirce cuyo número es el resto de la división entera que acabamos de hacer.
MEREVA: ¡ vaya correcto ! madre mia ya vais ganando 3 -1 a vuestros rivales
veamos haber si sabéis contestara la siguiente pregunta: ¿cuáles son los criterios de divisibilidad?
(sonido del pulsador rojo para que puedan responder)
¡Lorena!
LORENA:
MEREVA: así es correcto , un punto más para el equipo 1,Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4.
Un número es divisible por 5 cuando termian en 0 ó en 5.
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.
Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.
Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.
Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 17.
Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19.
Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25.
Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125.mero es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8.L
Vamos haber si sabéis contestar a esta pregunta: ¿como podemos hallar la letra del DNI?
(ruido del pulsador rojo para poder responder) ¡Emonna¡cuentanos
EMONNA:la letra del DNI está relacionada con el resto de la división entera por cualquier número. Y los grafos de divisibilidad no solo nos dicen si un número es divisible por otro número sino también nos da el resto de la división entera.
MEREVA: ¡very good! ¿ Pero Puedes explicar como se hace un grafo de divisibilidad?
EMONNA:creo que si, pues haber, te lo voy a explicar con el 23. Los restos de la división entera por 23, son los números enteros desde el cero hasta el 22. Dibujamos 23 vértices numerados sucesivamente del 0 al 22 y una flecha negra que va de un número al siguiente. Ahora nos falta dibujar las flechas rojas, sale una de cada vértice, pero ¿hacia que vertirce? El número del vértice lo multiplicamos por 10 y el resultado lo dividimos entre 23, la flecha apuntará al vertirce cuyo número es el resto de la división entera que acabamos de hacer.
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