Gion de la radio escolar

-PRESENTADOR (MARCOS)
-VICTOR
-MEREVA
-EMONNA ( AXLA)
-CRISTIAN

-Bienvenidos un día más en nuestra radio escolar Pinar de la Rubia.
¿y hoy qué toca Mereva?
-Pues hoy tenemos un concursazo de matemáticas
-Y ¿ de qué nivel?
-Pues de 3 de la ESO
¿os atrevéis a participar?, pues ya sabéis llamar al 652213455, donde os haremos unas preguntas sobre aumentos y disminuciones porcentuales, progresiones aritméticas y geométricas, números enteros congruentes con módulos y algebra con sumas, restas y multiplicaciones  de polinomios.
-Bueno Mereva  ¿crees que van a acertar muchas preguntas ?
-Pues siéndote sincero no lo se  ya que estos temas son más complicados
-bueno, bueno ya tenemos una llamada entrante.
(sonido de teléfono)
- ¿Hola? buenos días 
-  Buenos días bienvenido a nuestro súper concurso, ¿cómo te llamas?
-Emonna, tengo 14 años
-Bueno Emonna ahí va la pregunta: ¿qué dos métodos hay para resolver las progresiones ya sean aritméticas o geométricas?
-Creo que hay dos métodos por recurrencia artmética  que sería an=an-1+d, por recurrencia geométrica es: an=an-1·r
y por término general en aritméticas es an=a1+(n-1)·d y por término general en geométriicas es an=a1·r elevado n-1
-Muy bien has acertado, ¿pero sabías que hay fórmulas aparte para resolver progresiones artméticas y geométricas? como por ejemplo resolver la suma de los primeros términos de  de la progresión aritmética que es: sn= (a1+ an):2·n  y cuando quieres sumarlos con el término central se utiliza esta fórmula: sn= ac.n 
y en las progresiones geométricas para aberiguar la suma de los primeros términos se hace Sn= (a1(r elevado a n-1 y luego-1) y todo ello partido por r-1
y cuando los queremos sumar con el término central se utiliza la siguiente fórmula: pn= ac elevado a n.
Bueno has pasado a la siguiente pregunta, te paso con mi con pañero Cristian
Cuándo te compras un bote de colonia de 24 euros y te hacen un descuento del 10%¿cuánto costará la colonia ahora ? está pregunta de disminución percentual 
-pues yo haría el 10% de 24= 10·24 entre 100 = 2´4
y luego restas 24-2,4= 21,€
-Muy bien has acertado seguimos.
tienes una colonia de 18 y te aumentan un 21% de IVA¿cuánto cuesta ahora?
-Pues sería 21% de 18=  21/100 por 18 = 378 
y luego se hace 378+18= 2178
-Muy bien ahora por haber acertado a estas preguntas te dejaremos que elijas una canción ara que suene en nuestra radio 
-¡qué bien! pues me gustaría que pusierais la canción de chandelier
-PUES AHÍ VA, ADIOS EMONNA

(suena la canción)

Bueno tenemos otra llamada entrante

-hola, buenos días 

-buenos días bienvenido a nuestro súper concurso.

¿Cómo se llama?

-Me llamo Axla

- Bueno Axla ¿esta usted lista para las siguientes preguntas?

-Sí, claro

-¿cuántas fórmulas hay y cuales son de los productos notables?

-Pues, hay 6 fórmulas y son:

1) (x + y) elevado a la 2= x elevado a la 2 + 2xy+ y elevado a la 2

2) (x-y)elevado a la 2= x elevado a la 2- 2xy + y elevado a a la 2

3) (x+y)·(x-y)=  x al cuadrado -y al cuadrado

4) (x+y) elevado al cubo = x al cubo + 3xal cuadrado y + 3xy al cuadrado + y al cubo

5) (x-y)al cubo= x al cubo - 3x al cuadrado y + 3xy al cuadrado - y al cubo 

6) x al cubo - y al cubo = ( x al cuadrado + xy + y al cuadrado)· (x-y).

-Muy bien, felicidades lo has dicho perfecto, siguiente pregunta

¿cuáles son las propiedades de una suma de polinomios  y de una multiplicación de binomios?

-Oye a mi hermano que esta al lado mío le gustaría contestar alguna pregunta, ¿ es posible?

-Si, claro

-creo  que las propiedades de una suma son. a

1) asociativa

2)conmutativa

3)elemento neutro 

4) elemento simétrico y es cuando es respecto  a la suma se le llama opuesto 

-Muy bien, y ¿de una multiplicación de binomios?

-pues, creo que es.

1) asociativa

2)conmutativa

3)elemento neutro

4) elemento simétrico que se le llama inverso 

-! Wuaaw ¡ madre mía estos jóvenes saben mucha matemática, bueno jovencito ya que has acertado podrás elegir una canción ara ponerla en nuestra radio a continuación

-pues quiero que pongáis la canción de ishuees 

-Muy bien pues hasta aquí por hoy , que tengáis una buena mañana.

(sonido de la canción)

Ejercicio por término general

En está entrada os voy a dar un ejercicio muy interesante, haber si ya tenéis aprendida la fórmula por término general, si es así vamos a comprobarlo y no vale mirar mis entradas anteriores donde sale la
formula, veamos si sois capaces.

EJERCICIO.
En una progresión aritmética el 5 término es 12, y la diferencia es 3.¿Cuál es el término que ocupa el término 100?
-Bueno lo que vamos ha hacer para aclararnos es colocar los datos así se nos hará mas fácil resolverlo.
-a5=12
-d (diferencia) =3
-a100= 100

Chic@s fijaros antes de resolver la pregunta tenemos que saber cuánto es a1 así vamos a ello:

Ahora lo que vamos ha hacer es aplicar la fórmula a5= a1+(5-1)·3
                                                                                 12= a1+ 4·3
                                                                                 a1 es igul a 4· 3 partido entre 12 y es igual a 0
                                                                                 a1= 0
Ahora volvemos a aplicar la formula por término general:
a100= a1+(100-1)·d
a100= 0+99·3= 297

Aplicamos nuestra nueva fórmula de la suma de progresiones aritméticas.

Bueno, en está nueva entrada lo que vamos ha hacer es aplicar lo que ya sabemos, ¿ Qué tal si hacemos un pequeño ejercicio?
¡Adelante! Aquí os pongo el ejercicio con sus datos y la solución, pero no hagáis trampa, no miréis el resultado hasta no haberlo intentado vosotros solitos.

Veamos este ejercicio nos dice que n= 100, que a1=1 y por último a100= 100 y la pregunta es ¿ Cuál es su suma?

Vamos a aplicar nuestra formula:
S100 es igual a 1+ 100 partido entre 2 y luego multiplicamos por 100 y nos daría 5050
Lo que hemos hecho es sustituir los datos que nos han dado con nuestra formula es decir, Sn lo que sustituido por S100,  a1 lo he sustituido por 1, an lo he sustituido por 100 luego el 2 lo he dejado igual y la n  lo he sustituido por 100

Números enteros congruentes modulo 4

El modulo 4:              4n+0                 4n+1                       4n+2                    4n+3     

Cuando hablamos de números congruentes hablamos de números enteros.

EJERCICIOS:


¿A cuál pertenecería   4n+4  en el modulo  4?
- Es muy sencillo, ya que es lo mismo, así que por lo tanto pertenecerá al grupo de 4n+0
Hay dos formas de averiguarlo:
-1)  4n: -8, -4, 0, 1, 8, 12
       4n+4: -4, 0, 4, 8, 12, 16
Si os dais cuenta de las dos formas salen los mismos números.
-2)  4n+4= 4·(n+1) es otra forma también muy sencilla de averiguarlo.



¿ 4n+5 en cuál estará entres estos grupos?   4n+0          4n+1           4n+2            4n+3

4n+5= 4n+4+1= 4n(n+1)+1= 4n+1

En este caso lo único que hemos hecho es aplicar la fórmula de la anterior entrada que he hecho de los número enteros congruentes modulo 4 y lo que nos ha resultado es que el 4n+5 esta en el grupo 4n+1 ya que como bien he dicho en la anterior entradas acaban teniendo los mismos números de sucesión.

Gaus

Bueno hoy vamos ha explicar lo que averiguo Gaus:

1,2,3,4………………84,97,100.

Por término general: an= 1n, el 1 es la diferencia.

Ahora vamos a poner está sucesión pero con sub (n), es decir:

a1,a2,a3,……………an-2, an-1, an.

En este caso ya podemos hacerlo por recurrencia que sería a1=1 y nos quedaría an= an-1 + 1

Gaus pensó y pensó hasta que se le ocurrió darle la vuelta a todo, es decir,
 Sn= a1 + a2 + a3 +...........+ an-2 + an-1 + an
 Sn= an + an-1 + an-2 +..........+a3 + a2 + a1

Una vez después de darle la vuelta, lo que hizo fue sumarlas, es decir, Sn+Sn,   a1+an,   a2+an-1,
a3+an-2
Y nos dará: 2Sn= n·(a1+an)
Lo que hemos hecho es quedarnos  solo con el resultado de la suma es decir, 2Sn y con el resultado de a1+an, ahora solo nos queda despejar y al despejar tendremos nuestra fórmula esencial para las sumas en las progresiones aritméticas,
¡Vamos a despejar!, pero antes tenéis que saber que no puedo poner fracciones en mi ordenador así que os lo voy a despejar contándolo.
Haber nos quedaría Sn es igual a a1+an partido entre 2 y luego todo ello por n y ya estaría chicos, ya tenemos otra formula para nuestra chuleta de las progresiones aritméticas.

Haciendo esta operación conseguiremos el mismo resultado que Gaus explico en la pizarra de su profesor de matemáticas.

¿Sabéis qué?

-Hay una manera para averiguar está suma sin tener que poner todos los números de está sucesión, es decir en vede poner cada número uno por uno podemos sustituir esos puntos suspensivos que he puesto en la anterior sucesión.

Es una formula muy interesante y que nos servirá para más problemas que subiré más adelante:

-Esta formula se llama un sumatorio y ai es la manera de representar un sumando cualquiera.

números enteros congruentes modúlo 3

3n+0                                                     3n+1                                                  3n+2
3,6,9,12,15,...                                     4,7,10,13,16,...                                  5,8,11,14,...  

Todos los de la fórmula 3n+0 son múltiplos de 3, los de la segunda fórmula son los múltiplos de 3+1 y por último los de la tercera fórmula son los múltiplos de 3+2

Ejercicio:
¿El número 317 en qué grupo de los tres acabaría estando?

Para averiguar en qué grupo acabará estando lo único que debemos hacer el dividir el número en este caso el 317 entre 3, el cociente nos da 105 y de resto 2.
Por lo tanto ya sabemos en qué grupo estará, en el 3n+2, lo hemos averiguando simplemente con el resto, el resto es el que nos indica en cuál de ellos estará.

Más ejemplos de progresiones aritméticas por término general (es una manera más sencilla)

EJERCICIOS:
 1) a1=1    d=2
an=1+(n-1)·2= 1+2n-2= 2n-1

 2) a1=1    d=3

an= 1+(n-1)·3= 1+3n-3= 3n-2

 TODOS LOS RESULTADOS COMO: 2n-1; 3n-2   SON POLINOMIOS DE GRADO 1

 3) -5, -2, 1, 4, 7, 7, ...
an= 3n+a?
an= -5    n= 1
an= a1+(n-1)·d
an= -5+ (n-1)·3= 5+3n-3= 3n-8